不谜语人的因果推断笔记！
学习统计最好还是学习一下 R 语言。相比 Python，R 是专门用于统计的语言，它提供了更细致的函数和更标准的实现方法。
1. 因果推断入门
小朋友感冒，家长给他吃药，一个星期后就痊愈了。那么“吃药”和“痊愈”是否有因果关系呢？
我们知道普通的小感冒，即使不吃药，一个星期后也会痊愈。因此未必是因为吃药才痊愈的，也有可能是小朋友凭借抵抗力恢复了健康。此时，要进一步分析“吃药”与“痊愈”的因果关系，就要用到因果推断技术。
注意在上述例子中，原因存在两种状态：吃药/不吃药。结果也存在两种状态：痊愈/未痊愈。为了描述方便，我们把：
- 作为原因的变量：x 叫做控制变量 (control variable)，或解释变量 (explanatory variable)
- 作为结果的变量：y 叫做响应变量 (response variable)，或被解释变量 (explained variable)
1.1 如何测量因果关系
反事实因果分析框架 是统计学中分析因果关系的一种常见思路。这种思路把一种“状态”与其“反事实状态”造成结果的差异当作因果效应。对于小朋友 $i$，反事实因果分析框架反映的因果效应 $\tau_{i}$ 表示为：
$$\tau_{i} = Y_{i}(1) - Y_{i}(0)$$
这里 $Y_{i}(1)$ 代表吃药，$Y_{i}(0)$ 代表不吃药，它们都是观测值。
不难发现，$Y_{i}(1)$ 和 $Y_{i}(0)$ 是无法同时观测到的。这被称为 因果推断的根本性问题 (Holland, 1986)。正如“人不能两次踏入同一条河流”，一旦做出某种选择，其他选择的结果就无从观测了。
由于此“根本性问题”的存在，对 $\tau$ 算不了真实值，只能估计。因果效应 $\tau$ 有三种常见的估计值：
我们约定：是否吃药用
$X$表示，$X = 0 \space or \space 1$，其中 1 代表吃药，0 代表不吃药。这里有必要区分下，$Y_{i}|X=1$是指那些真的吃了药的人的$Y$值。$Y_{i}(1)$、$Y_{i}(0)$则是看不到的一个潜在状态，可能是用统计方法算出的估计值，也可能是模型的外推。
1.ATT (average treatment effect on treated)：实验组平均因果效应
$$\tau_{ATT} = E( \space (Y_{i}|X=1) - Y_{i}(0) \space )$$
2.ATU (average treatment effect on untreated)：控制组平均因果处理效应
$$\tau_{ATU} = E( \space Y_{i}(1) - (Y_{i}|X=0) \space )$$
3.ATE (average treatment effect)：平均因果处理效应
$$\tau_{ATE} = \pi * \tau_{ATT} + (1 - \pi) * \tau_{ATU} $$
其中，$\pi$ 是吃药的人（即$X=1$）在所有样本中所占的比例。
1.2 因果推断的前提假设
根据上一节内容我们知道，因果效应是由估计得来的。这也就不难理解，为了让“估计”成立，我们需要一些前提假设对问题进行约束。
因果推断的4个前提假设：
- 单位处理变量稳定性假设 (stable unit treatment value assumption, SUTVA)
- 一致性假设 (consistency)
- 可忽略性假设 (ignorability)
- 正值假设 (positivity)
名词解释：
🌟 单位处理变量稳定性假设 有两层含义。一层含义是，用户的实验结果是相互独立的，一个用户的行为不能影响另一个用户。这样的例子有很多，比如出租车公司给 A 组用户发放优惠券，结果 A 组用户大量打车。由于市场上出租车的存量是有限的，于是发生了挤兑。结果B组用户既没有优惠券又很难打到车，于是就转而使用其他公司的服务，最终导致 B 组用户的 GMV 暴跌。这就是典型的组间用户的相互影响。再举一个例子，医生给病人开出某种精神镇定类药物，A 病人先服用，精神好了很多。这个过程病人 B 看见了，于是他在服用的时候，因为有了 A 给他的心理暗示，他也感觉精神好了很多。此时用户间的相互干扰就发生了，因为你说不清病人 B 身上的“药效”，有多少是药物导致的，又有多少是安慰剂效应导致的。另一层含义是，施加在用户身上的干预不能有版本的区别。比如同样发优惠券，不能给 A 发两毛，给 B 发一块。
🌟 一致性假设 是指：如果一个人真的吃了药，那么他看不见的潜在状态 $Y_{i}(1)$ 就等于真的吃了药时的 $Y$ 值。用符号表示为：
$$Y_{i}(1)|X=1 \space 等于 \space Y_{i}|X=1$$
🌟 可忽略性假设 指用户进入实验组还是控制组是随机事件。举个 bad case，如果让山东用户都进入实验组，河北用户都进入对照组，那显然不服从该假设。
🌟 正值假设 指用户的处理变量取某个特定值的概率在 0 到 1 之间，它既不能无限趋近于 0，也不能无限趋近于 1。举个例子，假如我们要研究大学教育与未来薪资的关系，但是我们的样本中有这样一个人，他天资聪颖、家境优渥，家长从小就为他铺好了成才之路。这样的样本我们就要把他剔除。因为他太过极端，极端到我们无法想象对应的反事实状态“不上大学”有任何出现的可能。
1.3 观测性分析与随机实验
生活中，并非所有研究都能直接干预处理变量 $X$。比如人的性别是一出生就确定的，我们没有办法做干预性别的随机实验，LGBTQ+ 走开 (`ヮ´ )σ 还有就是那些涉及伦理道德的问题，比如研究有害物质对孕妇的影响。针对这样的研究，我们没法做随机实验，只能做观测性分析。
观测性分析与随机实验代表了分析因果关系的两种思路。观测性分析是探讨结果的原因，而随机实验则是探讨原因的结果。
在观测性分析中，由于观测大都取决于客观条件，因此一般都有不满足上述四条假设的地方。为减小各种系统误差，往往要使用纠偏方法对结果进行校正。但纠偏方法并非是完全无害的，多多少少会引入新的问题。有些纠偏方法，使用不当甚至不如不用。
正因为观测性分析存在如此多的问题，因此在有条件做随机实验的情况下，还是尽量做随机实验。随机实验是检验因果关系的 黄金标准。
todo: 未完待续